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如何对付较长的证明?(完)

已有 1647 次阅读 2018-12-27 09:57 |个人分类:心路里程|系统分类:科研笔记

 

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本期开始改变画风,搭载数学类学院等有用链接。~) Step 8 (共两段),第一段。逐句评论:
Let L, P, G, E, Δ be the pushdowns to X of L', P', G', E', Δ'. 
---- 用 pushdown 的办法,引出几个影版符号的原版。 
By the definition of L', by the previous step, and by the exceptionality of P', we have
(n+1)M-nKx-nE-\(n+1)Δ/=L=L+P~G≥0.
---- L(通过L')提供了构形,又借助P及影版关系,最终联系到G。
(但早先的L'是怎样想到的,仍然是个谜)。
---- G的构造是间接得到、并且间接表现的。
---- 当前句的推导暂缓。落点是:
(n+1)M-nKx-nE-\(n+1)Δ/=L~G≥0.
(P仅是"桥接"工具,用完就扔了....)。
.
Since nB is integral, \(n+1)Δ/=nΔ, so
(n+1)M - n(Kx+B)
(n+1)M - nKx - nE - nΔ = L ~ nR:=G≥0.
---- 自然的推导:1)落点左侧的 \(n+1)Δ/换成, 得到:
L = (n+1)M - nKx - nE - nΔ = (n+1)M - n(Kx+B).
(注:B=E+Δ ==>nB=nE+nΔ)
2) 令 nR:=G.
经过整理就得到作者的写法。
---- 落点(n+1)M - n(Kx+B) ~ G≥0.
(L也完成了使命...)。
注:至此,P 和 L 都“退场”了,但它们的影版还会出现。
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论:之前推测*,“后面,作者必然要构造出nRs,从而求出Gs,这就距离求出G不远了...”
---- 现在看来,作者先构造出了G(在等价关系下谈论),然后再去确定nRs(或nRs')和G的关系。
---- 上面,作者规定nR:=G,于是,任务转化为建立 nR 和 nRs(或 nRs')的关系。
(究竟如何,看下一段分解)。
.
Step 8, 第二段。
Let B^+ = B + R.
---- 即 R = B^+ - B.
---- 对照 Step7 第一句 “Let Rs:= Bs^+ - Bs...”。
---- Rs 只是形式上的符号,还没有 R|s 的意思在里面(还没有出现R);甚至没有 Bs^+ - Bs = (B^+ - B)|s 的意思(Bs=B|s是有的,但尚没有 Bs^+ = B^+|s)。
---- 上一段规定 nR:=G,不太自然,该是为了引入单独的符号R来指代 G/n 罢了。
---- 至此,有了符号R,但 Rs 和 R|s 尚未划等号。
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It remains to show (X, B^+) is lc near S.
---- 本段的核心任务。
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This follows from inversion of adjunction [16], if we show Ks + Bs^+ = (Kx + B^+)|s... 
---- Step3 第二段“Let Ks + Bs = (Kx + B)|s...” 不妨理解为 Ks:=K|s, Bs:=B|s.
---- 按上述理解,上面末尾化简为...show Bs^+ = B^+|s. 这等价于 show Rs = R|s.
.
which is equivalent to showing R|s = Rs.
---- 没话说啦。
.
Since nR' := G' - P' + \(n+1)Δ'/ - nΔ' ~ L' + \(n+1)Δ'/ - nΔ' = nN' + M' ~Q 0/X...
---- Step7 最后一句“L' + P' ~ G'...” ==> G' - P' ~ L'.
---- Step4 第五句“...L' = nΔ' - \(n+1)Δ'/ + nN' + M' ”.
---- 由此,除了最后一个等价关系,其余都显然。
注:R'在这里是第一次出现,目前只是个规定。
.
and since \(n+1)Δ/ - nΔ = 0, we get phi#nR'=G=nR and that R' is the pullback of R.
----下标 "#" 代表下标的星号。phi#把影版关系转到原版。
---- 用到上面 nR' ~ L' +  \(n+1)Δ'/ - nΔ', 及第一段 L ~ G.
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Now, nRs' = Gs' - Ps' + \(n+1)Δs'/ - nΔs' = (G' - P' + \(n+1)Δ'/ - nΔ')|s' = nR'|s' which means Rs'=R'|s', hence Rs and R|s both pull back to Rs' which implies Rs=R|s.  
---- Step7第二句“Letting Rs' be the pullback of Rs....”
---- Step7第三句“...Gs':=nΔs' - \(n+1)Δs'/ + nRs' + Ps'...
---- 变形得:nRs' = Gs' - Ps' + \(n+1)Δs'/ - nΔs' 
---- Step7,第1、2段末:Δs'=Δ'|s', Ps'=P'|s' 和 G'|s' = Gs'.
---- 由上两条有: nRs' = (G' - P' + \(n+1)Δ'/ - nΔ')|s'.
---- 括弧里不是别的,正是 nR'.
---- 由此,nRs'=nR'|s'.
Rs' --> Rs
 ||          
R'|s' -->R|s
注:若下方的箭头成立(?),则Rs=R|s.
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小结:定理1.7的整个证明完结。文章第四部分结束。
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* * *
如果把符号体系看做“语言”,则不同的语言之间是“平等的”。不妨把这篇文章的内容称作 “Birkar 语言”。设想讲这种语言的人形成一个社会。假装你出生在这个社会中,那么要不了多久,你也能用 Birkar 语言说话了。从课本学起可能是一种认识上的误区,又或是社会妥协的产物。结论是:Thinking in Birkar.


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