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维纳过程定义中的逻辑悖论

已有 913 次阅读 2021-12-3 09:15 |个人分类:随机过程|系统分类:科研笔记

维纳过程(Wiener process)作为一种具有连续时间参数和连续状态空间的基本随机过程,其理论不仅在概率论与随机过程学科中占有相当重要的地位,而且也是刻画物理学布朗粒子空间位置、光纤陀螺随机游走误差和金融资产价格随时间演变过程的重要数学工具,在自然科学、工程技术和社会科学领域有着广泛应用。

一、维纳过程定义及性质

1827年,英国植物学家布朗用显微镜观察悬浮在水中的花粉微粒时,发现悬浮微粒总是在做无规则的运动。1905年,爱因斯坦认为悬浮微粒的不规则运动是由于受到大量液体分子的连续随机碰撞造成的,并根据扩散微分方程推导出了布朗运动的物理模型。1923年,维纳将爱因斯坦的物理模型抽象为数学模型,并给出了布朗运动的数学定义。

x(t)一个布朗粒子t时刻的位移(图1),x(0)=0,定义

1x(t)为平稳独立增量过程;

2)对于任意的t>s0x(t)- x(s)N(0σ2 (t-s)),其中σ>0为常数;

3x(t)t的连续函数

则称x(t)是参数为σ2的布朗运动,或维纳过程。

图1.png

1 布朗粒子位移曲线

《随机过程》教科书由维纳过程定义,推导出了布朗运动的几个重要性质:

1布朗运动位移x(t)N(0σ2t)

2布朗运动具有常返性;

3)布朗运动为马尔可夫过程。

二、维纳过程逻辑悖论

“悖论”是英文paradox一词的意译,从字面上讲就是荒谬的理论。弗兰克尔和巴-希勒尔在其《集合论基础》一书中给出了悖论的定义:如果某一理论的公理看上去是真实的,它的推理规则也是合理的,但在这个理论中却推出了两个互相矛盾的命题,那么,我们就说这个理论包含了一个悖论。

1、正态分布悖论

对于任意的t>s0,设维纳过程定义中的x(t)- x(s)= ∆ x(t),因此有

x(t)= x(s)+ ∆ x(t)                           1

式中∆ x(t)N(0σ2 (t-s))

假设布朗粒子经过时间s运动到图1中的位置a,也可假设s=Ta(首中时),则x(s)= x(Ta)= a为常数,可由式(1计算出x(t)的数学期望和方差

E[x(t)]= a                                     2

D[x(t)]= σ2 (t-s)                           3

因此x(t)N(aσ2 (t-s)),与x(t)N(0σ2t)的正态分布性质不一致。

2、方差悖论

x(t)N(0σ2t)D[x(t)]= σ2t,因此,t0时,D[x(t)]0

布朗运动的常返性是指P[x(t)=0i.o.]=1,表示布朗粒子未来返回原点无穷多次的概率等于1,也就是说,t>0时,x(t)=0会发生无穷多次,因此,D[x(t)]=0也会发生无穷多次,与t0时,D[x(t)]0的结论矛盾。

3、马尔可夫过程悖论

如果随机过程x(t)在时刻t0所处状态x(t0)已知的条件下,x(t)在时刻t> t0)所处的状态x(t)t0时刻之前的状态无关,则称x(t)马尔可夫过程,马尔可夫过程的这一特性通常被称为“无后效性”或“无记忆性”。

布朗运动的“常返性”表示在时刻t0以后,布朗粒子返回x(0)=0初始状态无穷多次的概率等于1,表明布朗粒子具有很强的“后效性”和“记忆性”,与马尔可夫过程的“无后效性”和“无记忆性”矛盾。

三、结论

科学理论是具有一定逻辑结构的理论体系,必然要求内部逻辑的完备性,科学理论内部必须要在逻辑上自洽,不应出现自相矛盾的逻辑悖论。逻辑完备性是判断科学理论客观真理性的重要评价标准之一,一旦在某个科学理论中发现了逻辑悖论,则表明该理论的逻辑完备性遭到破坏,该理论被证伪。爱因斯坦曾经说过:“相对论主要吸引人的地方在于逻辑上的完备性。从它推出的许多结论中,只要有一个被证明是错误的,它就必须被抛弃;要对它进行修改而不摧毁其整个结构,那似乎是不可能的。”




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