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杂技力学之五:飞车走壁 精选

已有 5130 次阅读 2021-9-3 14:21 |系统分类:科普集锦

与具有古老历史和传统的其它杂技项目不同,飞车走壁是和自行车、摩托车和汽车等现代交通工具相关,极具时代特征的杂技项目(图 1)上世纪 30 年代,国人皮德福从英国引进飞车木桶,创立了飞车表演团,以其难度、技巧和观赏性而引起轰动。此后不少省市也相继成立了飞车团队,走壁的飞车从自行车发展成摩托车和小汽车,原始的大木桶也发展成钢制的圆球形网状结构(图 2)。观众不必攀登到木桶顶部的边缘向下俯视,就能以任意角度欣赏精彩的飞车表演。上海杂技团的 “时空飞车” 节目中,8 个现代化勇士骑着摩托车从四面八方冲进直径  6.5  米的巨型钢球,高速飞驰穿梭翻腾的表演令观众惊心动魄。


飞车1.jpg

1  大木桶内的飞车走壁


飞车2.jpg

2   球形钢网内的飞车走壁


在略带锥度的圆柱形木桶内,骑手在与地面平行的平面内能紧贴桶壁完成圆周运动,是因为桶壁对车轮的摩擦力平衡了车的重力。只要车的重力不超过桶壁的最大静摩擦力就不会掉落。根据库伦摩擦定律,最大静摩擦力与正压力成正比。而正压力来自离心惯性力对桶壁的挤压,与车速的平方成正比。圆柱形木桶内的飞车如偏离水平面,轨迹的曲率就会减小,离心惯性力和正压力,乃至最大静摩擦力都随之减小。因此骑手在木桶内的运动不能偏离水平面太远。当木桶发展成钢制圆球时,情况就不同了。骑手沿球面内的任意圆弧运动都有离心惯性力存在,它不仅产生正压力和摩擦力,而且沿铅垂轴的分量直接参与了重力的平衡。由于摩擦力和离心惯性力共同分担车的重力,骑手甚至可在过顶点的垂直平面内飞驰,获得更大的自由度

为分析飞车沿球面内任意大圆弧的运动,以球壁的球心 为原点,建立固定参考坐标系 (O-XYZ)Z 轴为垂直轴,轴沿运动平面与过  点水平面的交线(图 3)。令 (O-XYZ) 绕  轴转过 α 角,使 轴到达的新位置与运动平面的法线轴 重合。再绕 轴转过 β 角的位置记作 (O-xyz)轴沿球壁的外法线指向车和车手的质心 P轴沿车的速度方向。α 和 β 是确定飞车位置 P 的两个角度坐标。设载人车的质量为 m,速度为 v,球面的半径为 R,桶壁对车轮的约束力 F 作用于前后轮接触点连线的中点 Q。设 F 沿 x, y, z 各轴的分量为 Fx, Fy, Fz,其中Fx = -F为法向约束力,沿 轴的负方向,Fy , F沿切向的摩擦力。离心惯性力 mv2/R  沿 x 轴的正方向,重力 mg 沿 Z 轴的负方向。根据达朗贝尔原理列出车体沿 x, y, z 各轴的质心运动方程:

                                 飞车3.png                                              (1)


飞车4.png

                      图3  沿球形壁运动的飞车受力图


为使车轮保持紧贴球壁的滚动状态,法向的单面约束力 F必须为正值,且摩擦力 Fy, F的模必须小于最大静摩擦力。即以下 3 个约束条件必须同时满足:

                                               飞车5.png                                             (2)

其中 f 为静摩擦因数。各约束条件均与车的质量无关,因为所有的作用力均包含质量因素而相互抵消了。将上式中的不等号换成等号,解出速度 v 的 3 个临界值:

                                                 飞车6.png                                      (3)

vcr,j  (= 1,2,3) 中的最大值是能使飞车贴壁滚动的 3 个约束条件全部满足的最低车速:

                                                            飞车7.png                                                         (4)

vmin 随 α 和 β 的变化曲线在 图 4 中给出。作为特例,α = 0 是在水平的赤道面内运动的飞车,圆周上各点有相同的最低速度 vmin = (gR/f)1/2设 = 6 m= 0.4,算出的最低速度约为 12 m/s对应的加速度 v2/R 24 m/s≈ 2.4g,超过了重力加速度的两倍。实际上飞车的表演速度大大超过此最低速度,如车速增至 18 m/s车手就必须承受 5g 以上的加速度。α = 90是在垂直平面内运动的另一特例,最低速度随车体的不同位置而改变。在 β = 90的圆周顶端达最小值 vmin = (gR)1/2,此时车的重力完全由离心惯性力平衡。按以上数据算出的最低速度 (gR)1/2 约为 8 m/s。由此可见,虽然沿垂直面运动的飞车看起来惊险万分,在顶端甚至处于倒悬状态,但必需的最低速度反而比沿水平面的飞车小得多。


飞车8.png

  图4 vmin/(gR)1/2 随 α 和 β 的变化曲线


用于飞车的圆筒形木桶相对垂直轴通常有 γ = 100  左右的倾角而略带锥度。设飞车在桶内作半径为 R 的水平圆周运动。以圆心 O 为原点,轴为垂直轴,O 点 至车的质心  的连线为水平轴 X。令 (O-XYZ) 绕 Y 轴转过 γ 角,使  轴和 轴到达的新位置平行于接触点 Q 处桶壁的法线轴  x  和切线轴  zy  轴沿飞车前进方向。参照图 5 表示的受力状况,仅保留 γ  的一次项,列出车在重力、惯性力和约束力作用下沿 x 轴和 z 轴的平衡方程:

                                         飞车9.png                                         (5)

γ 角在  00  至  900  范围内变化时,为保证车轮紧贴球壁滚动的 Fn  > 0 条件可自动满足。飞车的最低速度可从另一条件 |Fz| <  fFn  得出:

                                                           飞车10.png                                                     (6)


飞车11.png

5  沿锥形壁运动的飞车受力图


  图 6 为  = 0.4 时,飞车的最低速度 vmin 随 γ 角的变化曲线。当 γ 增大桶壁趋于平坦时,最低速度随之降低。对于 cot γ f  的特殊情形,即 γ = 680,或桶壁相对地面坡度为 22的特殊情形,vmin = 0。此时重力的切向分量等于最大摩擦力而产生自锁,即使车速接近零也不会下滑。当车在此位置以任意速度行驶时,所产生的离心惯性力均能推动车向上方移动。


飞车12.png

图6  vmin/(gR)1/2随 γ 的变化曲线


类似现象发生在自行车的场地赛。自行车赛场的圆形赛道外圈高于内圈,形成弧形断面,便于使车的重力产生向心力分量。按以上分析,最低速度与半径的平方根成正比,内圈的最低速度低于外圈。当内圈上的自行车手速度过快时,离心惯性力将车向上推至外圈。速度降低时,重力再将车拉回内圈(图 7)。


飞车13.png

7 赛道上的自行车


以上在列写力平衡方程时并未考虑力矩的平衡。实际上在运动过程中,重力和离心惯性力作用于质心 P,法向约束力和摩擦力作用于车轮与桶壁的接触点 Q与 Q 并不重合。以水平圆周运动为例,由于离心惯性力与支承力构成一对力偶,车体必须向一侧倾斜,使重力与摩擦力构成方向相反的力偶与之平衡。将 P 与 Q 的连线作为车的纵轴,相对垂直轴的倾角为 θ,设 h 为车直立时的质心高度,即 P 与 Q 之间的距离(图5)。则作用力对质心 的合力矩 沿切线轴  的负方向,模为

                                              飞车14.png                                          (7)

此力矩必须平衡因动量矩改变方向而出现的陀螺力矩 Mg

                                                                  飞车15.png                                                                            (8)

其中 为前后车轮旋转产生的对质心的动量矩,沿车轮平面的法线,即 轴的负方向。如车轮沿 y 轴作无滑动的纯滚动,为车轮半径,则车轮的角速度为 Ω v/r,设 J  为车轮的转动惯量,L  的模为 L = 2Jv/rω 为 L 矢量随同车的圆周运动绕 轴转动的角速度,模为 ω v/R。根据图 5 判断,M指向 y 轴的正方向。从达朗贝尔原理出发,将 式 (5) 解出的 FnFz  代入式 (7),与 ω×的模 (2Jv2/Rr)cosγ 相等,导出

                                                           飞车16.png                                                   (9)

其中 ε = 2J cosγ/mhr 是体现陀螺效应的参数。由于 mhr >>Jε 为小量。仅保留 ε 的一次项,解出

                                        飞车17.png                 (10)

其中 v2/gR 是向心加速度与重力加速度之比,倾角 θ 随着速度的增高和圆周半径的减小而加大。如忽略微弱的陀螺效应,则简化为 θ ≈ arctan (v2/gR)。将 v 以最低飞车速度 (gR/f)1/2代入,化作 θ ≈ arctan (f) = 680。这就是图 1, 图 2 和图 7 中所有飞驰中的车体都保持倾斜姿态的原因。


   (改写自:刘延柱,飞车走壁的动力学. 力学与实践,201436(2): 246-248

          刘延柱. 趣味刚体动力学(2)2.7. 北京:高等教育出版社,2018






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