liuyanzhu的个人博客分享 http://www.blog.sciencetimes.com.cn/u/liuyanzhu

博文

刚体姿态的数学表达(一):有限转动张量 精选

已有 4224 次阅读 2021-9-11 08:40 |系统分类:科普集锦

 1.   有限转动与欧拉定理

  刚体是刚硬物体的抽象,是由密集质点组成的质点系,其中任意两个质点之间的距离在运动过程中保持不变。不受约束的自由刚体有 6 个自由度,即刚体内任意点 O 的 3 个移动自由度和绕 O 点的 3 个转动自由度。若 点的运动规律已完全确定,仅讨论刚体绕 O点的转动时,刚体的姿态如何用数学方法表达就是首先解决的问题[1]

将 O 作为原点建立固结于刚体的正交坐标系表示刚体的位置。各坐标轴的基矢量 ek (= 1,2,3) 组成矢量列阵,以略去下标的黑体字母 e 表示,称为刚体的连体基。任意矢量 a 可利用在基矢量 e上的投影 ak (= 1,2,3) 表示,所组成的标量列阵称为矢量 a 在 e 基上的坐标阵,为简化表达仍以黑体字符 a 表示,以带括号的上标 i 和 j 表示不同连体基的序号。刚体绕 O 点转动的不同位置之间的几何关系可利用连体基 e(i和 e(j之间的方向余弦矩阵 A(ij确定。其中 9 个方向余弦元素中只有 3 个独立参数,体现刚体的 3 个转动自由度。关于方向余弦矩阵的定义和性质,在文末的附录 1 中有详细说明。

刚体绕 O 点任意角度的转动称为有限转动。1765 年欧拉 (L. Euler) 的一次转动定理是关于有限转动的重要定理(图 1):刚体绕定点 O 的任意有限转动可由绕过 O 点某根轴的一次有限转动实现

为证明欧拉定理,可参阅附录 1 中方向余弦矩阵的性质五。因任意两个基之间的方向余弦矩阵存在等于 l 的特征值,所对应的特征矢量对两个不同基有完全相同的坐标阵。因此刚体绕 O 点的任意两个不同位置必能通过绕特征矢量的一次转动实现。


姿态2.png

图1  欧拉 (L. Euler, 1707-1783)


2.  有限转动张量:

设刚体以 O 为基点的连体基在转动前的位置为 e(0),刚体绕有限转动轴 p 轴逆时针转过 θ 角后的位置为 e(1)。固结于刚体的任意矢量 a与转动后的位置 a 均位于相对 p 轴对称的圆锥面内。过 a和 a 的矢量端点 P和 P 作平面与 p 轴垂直并相交于 O点,过 P 点向 O1P引垂线,垂足为 Q  (图 2),则有

                                                     姿态3.png                                                                       (1)

设 轴的基矢量为 ,式 (1) 中的矢量 QP 沿 p×a方向,P0Q 沿 (p×a0)方向。则式 (1) 可写作

                                    姿态4.png                                      (2)

利用二重矢量积的变换公式:

                                             姿态5.png                                           (3)

将式 (2) 中的  (p×a0) 展开后,化作

                                     姿态6.png                                        (4)


    姿态7.png

图2  刚体的有限转动


  依序并列的两个矢量称为并矢。关于并矢的定义和运算规则,在文末的附录 2 里有详细说明。矢量式 (4) 的右项可利用并矢 A 与矢量 a 的标量积表示为

                                                                   姿态8.png                                                                                  (5)

其中的并矢 A 定义为

                                       姿态9.png                                       (6)

其中 E 为单位并矢。式 (6) 定义的并矢 A 称为刚体的有限转动张量。公式 (5) 利用有限转动张量 A 确定刚体绕 p 轴转过有限角 θ 后,与刚体固结的矢量 a与转动后位置 a 之间的几何关系。欧拉于1775年导出此公式[2]

3.  有限转动矩阵:

  将式 (6) 中的矢量与并矢向 e(1) 基,即 (O-x1y1z1) 坐标系投影。写出由矢量和张量的坐标阵组成的矩阵方程:

                                                                姿态10.png                                                                         (7)

此处的黑体字符表示投影矩阵。A(1) 为有限转动张量 A 在 e(1) 中的坐标阵,称为有限转动矩阵。省略上角标,从式 (6) 直接写出

                                           姿态11.png                                               (8)

其中 为单位阵,p 姿态1.png 分别表示基矢量 p 在 e(1) 中的坐标阵和坐标方阵:

                                              姿态12.png                                              (9)

式 (7) 中的 a(1) 是矢量 a 在 e(1) 中的坐标阵,它与转动前的矢量 a在 e(0) 中的坐标阵 a0(0) 应完全相同。因此式(7)中的 a(1) 可置换为 a0(0),改作

                                                                   姿态13.png                                                                         (10)

上式表示同一矢量 a利用矩阵 A(1) 将 e(1) 中的坐标阵变换为 e(0) 中的坐标阵。依照附录 1 中对方向余弦矩阵的定义,A(1) 是连体基转动后位置 e(1) 与转动前位置 e(0) 之间的方向余弦矩阵。

将式(8)的右项展开后略去角标,称为有限转动矩阵

              姿态14.png               (11)

由于方向余弦之间存在关系式:

                                                    姿态15.png                                                          (12)

因此构成矩阵 A 所有元素的 4 个参数 p1, p2, p3, θ 中只有3个独立变量,对应于刚体绕定点转动的 3 个自由度。将转动轴位置 p1, p2, p3 和转角 θ 代入式 (11),即得到转动前后刚体位置之间的方向余弦矩阵。反之,给定任意方向余弦矩阵 A = (aij),一般情况下,也可从式 (11) 逆解出用方向余弦元素 aij(i,j = 1,2,3)表示的转动轴位置 pk (= 1,2,3) 和转角 θ

                            姿态16.png                       (13)

其中 pk  的正负号可参照原矩阵 A 加以确定。上式的推导过程也可视为对刚体有限转动欧拉定理的证明过程。

4.  欧拉角:

式 (11) 表示的刚体绕 O 点任意两个位置之间的方向余弦矩阵中只有 3 个独立变量,与刚体的3个转动自由度相对应。欧拉设想将刚体的有限转动分解为依一定顺序绕连体坐标轴的 3 次有限转动,将每次转过的角度定义为 3 个广义坐标,以确定刚体转动前后的相对位置。

设刚体连体基从初始位置 e(0),即坐标系 (O-x0y0z0) 出发,先绕 z轴转动 ψ 角到达 e(1),即 (O-x1y1z1);然后绕 x轴转动 ϑ 角到达 e(2),即 (O-x2y2z2);最后绕 z轴转动 φ 角到达 e(3),即 (O-x3y3z3) 为刚体的主轴坐标系。3 个广义坐标 ψ, ϑ, φ 称为欧拉角,其中 ψ 进动角ϑ 章动角φ 自转角 (图 3)。将此转动次序表示为

姿态17.png

利用有限转动矩阵的普遍公式 (11),只要将每次转动的转动轴位置和转过的角度代入,即得到每次转动前后的方向余弦矩阵。

                                                       姿态18.png                                                           (14)

利用附录 1 中方向余弦矩阵的性质三,利用矩阵乘法可导出任意两个基之间的方向余弦矩阵。例如

                           姿态19.png                                  (15)

              姿态20.png               (16)

其中以 cs 作为 cos sin 的简略符号。二次转动后的连体基 e(2) 对轴对称刚体有特殊意义。若刚体的质量相对 z轴对称分布,则绕 z轴转动前后的连体基 e(2) 与 e(3) 均为刚体的主轴坐标系。e(2) 通常称为莱查坐标系 (Resal,H.),其中仅 z轴与刚体固结,不参与刚体绕 z轴的转动。用它作为轴对称刚体的参考坐标系可明显使计算简化。


姿态21.jpg

图3   欧拉角


5.  卡尔丹角:

欧拉角是经典刚体动力学常用的广义坐标。它特别适合讨论章动角 ϑ 接近不变,进动角 ψ 和自转角 φ 接近匀速增长的刚体运动,例如天体的运动或陀螺的运动。欧拉角的缺点在于,在 ϑ nπ (= 0,1,…) 的特殊位置处,(x2, y2与 (x0, y0) 两个坐标面重合,ψ 角与 φ 角无法区分而成为奇异位置。当 ϑ 接近于零或 nπ 时,数值计算即无法进行。此外,e(3) 相对e(0) 即使有微小偏离,也能导致 ψ 角在 2π 范围内的大变化。

改变有限转动的顺序,可定义另一组角度坐标 α, β, γ,称为卡尔丹角(图 4)。其转动次序为

姿态23.png


姿态22.jpg

4   卡尔丹角


卡尔丹角避免了欧拉角的缺点,当 e(3) 相对 e((0) 有微小偏离时,所有的角度坐标 α, β, γ 均为小量,便于线性化处理。因此在工程技术中采用更为广泛,是确定飞机、船舶、车辆等工程对象姿态的常用方法。卡尔丹角的名称来自陀螺仪的万向支架,α, β, γ 就是外环、内环和转子的实际转角(图 5)。万向支架在西方曾错误地认为是 16 世纪意大利人卡尔丹(Cardano,G., 1501-1576)的发明。实际上万向支架早在我国西汉时期就已存在,刘歆的《西京杂记》里就有具体的文字记载,比卡尔丹提前了一千多年。因此卡尔丹角仅为习惯使用的角度名称,与万向支架的发明无关。


姿态24.png

陀螺仪的万向支架


卡尔丹角避免了欧拉角中章动角 ϑ 等于零时的奇异性,但仍不能避免奇异位置的存在。只是奇异位置 β = π/2 + nπ (= 0,1,…)远离零点优于欧拉角。而卡尔丹角在奇异位置附近也同样发生数值计算的困难。因此有必要跳出三角函数的局限另辟蹊径,创造一种不存在奇异性的表达方法。于是四元数应运而生,将在下一篇博文里详细讨论。


参考文献

[1]  Shuster MD. A survey of attitude representations. J. Astron. Sci., 1993, 41(4): 439-518.

[2]  Euler L. Nova methodus motum corporum rigidorum determinandi. Novi Commentari Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae, 1775, 20: 208-238.

          (改写自:刘延柱. 高等动力学(第二版),4.1节. 北京:高等教育出版社,2016)


附录1:方向余弦矩阵


姿态25.png

姿态26.png
姿态27.png
姿态28.png



              附录2:并矢


姿态29.png











姿态30.png



http://www.blog.sciencetimes.com.cn/blog-3452605-1303738.html

上一篇:杂技力学之五:飞车走壁
下一篇:刚体姿态的数学表达(二):欧拉参数与四元数

7 王鹏 蒋敏强 文端智 李东风 王安良 马红孺 刘全慧

该博文允许注册用户评论 请点击登录 评论 (1 个评论)

数据加载中...

Archiver|手机版|科学网 ( 京ICP备07017567号-12 )

GMT+8, 2021-10-18 03:03

Powered by ScienceNet.cn

Copyright © 2007- 中国科学报社

返回顶部