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刚体动力学中的动量矩坐标系 精选

已有 2668 次阅读 2021-10-28 20:24 |系统分类:科普集锦

1.       动量矩坐标系

前篇博文中叙述了表达刚体姿态的 Serret-Andoyer 变量,文中涉及动量矩坐标系,即利用动量矩矢量 为坐标轴的参考坐标系。Serret-Andoyer 变量鲜为人知,但所涉及的动量矩坐标系作为一种特殊的数学工具,在动力学分析中却有着应用价值。如 1938 年俄罗斯力学家布尔加科夫 (Bulgakov,B.V.) 的博士论文就利用动量矩坐标系分析陀螺仪的运动。国内涉及动量矩坐标系的文献除刚体以外,还扩大到陀螺体、多体系统,乃至充液刚体等对象,有较广泛的应用范围。

动量矩坐标系的特点在于,无力矩作用时与惯性坐标系无异。但利用坐标轴与动量矩矢量L共线的特点,可直接写出用欧拉角表示的一阶微分方程,便于分析处理。1849 年雅可比 (Jacobi,C.G.J.) 曾从欧拉方程解出椭圆函数形式的解析解。若利用动量矩坐标系,可更简洁获得同样的解析结果[1]

一般情况下,可将刚体的运动分解为相对动量矩坐标系的运动,和动量矩坐标系在惯性坐标系内运动的叠加。若作用的力矩较微弱,可采用逐次近似方法,将无力矩状态作为零次近似,导出欧拉角的变化规律计算动量矩坐标系的受扰运动。且作为一次近似,对刚体的运动进行修正。若两类运动的时间尺度相差悬殊,刚体快速旋转而动量矩矢量缓慢进动。则分析前者运动时可近似忽略后者的运动,分析后者运动时可近似以前者运动的平均效应代替。因此适合于对高速旋转而力矩微弱的刚体运动作近似解析分析[2,3]

以下就无力矩刚体定点运动,和微弱力矩作用的刚体定点运动两种情形,叙述动量矩坐标系在动力学分析中的特殊作用。


2.       欧拉情形刚体定点运动

设无力矩作用的刚体绕固定点 O 运动,对  O 点的动量矩为 L。以  为原点建立动量矩坐标系 (O-XYZ),其中 OZ 轴与守恒的动量矩矢量 重合。刚体的主轴坐标系 (O-xyz) 相对 (O-XYZ的姿态以欧拉角 ψ, θ, φ 确定(图1)。刚体的瞬时角速度 ω (O-xyz 各轴的投影为

                                                动量矩1.png                                                         (1)


图1   刚体相对动量矩坐标系的姿态


设刚体相对 (O-xyz 各轴的主惯性矩为 A, B, C,将动量矩矢量 直接向 (O-xyz各轴投影,分别等于 Ap, Bq, Cr。导出

                                    动量矩2.png                                                           (2)

令式 (1) 与式 (2) 各项相等,得到 ψ, θ, φ 的一阶微分方程组:

                                               动量矩3.png                                                (3a)

                                               动量矩4.png                                              (3b)

                                       动量矩5.png                                 (3c)

其中 ν = L/C,  σ = (A-C) /A,  ρ = (B-C) /B。作为刚体运动的数学模型,一阶微分方程组 (3) 比欧拉方程简单得多,实际上是以动量矩守恒的首次积分代替了动力学方程。令式 (3a) 与式 (3c) 相除,消去时间变量 t,得到仅含 θ 和 φ 的自治的一阶微分方程:

                                             动量矩6.png                                        (4)

从式 (4) 积分得到 θ(φ),代入式 (3c) 和式 (4) 消去 θ,即导出椭圆函数形式的解析积分,与雅可比从欧拉方程解出的结果相同。推导过程在附录1中给出。

   方程 (4) 也可用于定性分析。利用相平面的奇点理论,在 (θ, φ) 平面内分析刚体绕主轴转动的稳定性。令方程 (4) 的分子和分母同时为零,共确定 6 个奇点 S (= 1,2,⸱ ⸱ ⸱,6),分别对应于刚体绕 3 个惯性主轴正负方向的稳态转动。利用对奇点类型的判断,确定刚体绕主轴转动的稳定性条件。分析过程可参阅附录 2。


3.       粘性介质中的刚体定点运动

   对于有微弱力矩作用情形,必须考虑动量矩坐标系在惯性空间中的运动。设 (O-ξηζ是以 O 为原点的惯性坐标系。利用卡尔丹角 α, β 确定动量矩矢量 L,以及以 L 为坐标轴的动量矩坐标系 (O-XYZ)  (O-ξηζ) 中的姿态(图 2)。



图2   动量矩坐标系相对惯性坐标系的姿态


设 M 为刚体上作用的对 点的力矩,依据动量矩定理 dL/dM,列出

                                                 动量矩7.png                                                                            (5)

考虑  (O-XYZ坐标系牵连转动对刚体角速度的影响,式 (1) 中应增添动量矩 进动产生的角速度增量,改为

                               动量矩8.png                                        (6)

为简化表达,其中与动量矩9.png动量矩10.png相乘的括弧内 α, β, ψ, θ, φ 的三角函数组合以省略号表示。令动量矩矢量    (O-xyz) 各轴上的投影分别与 Ap, Bq, Cr 相等,且利用式 (5) 消去动量矩9.png动量矩10.png,导出

    动量矩11.png     (7)   

方程 (5), (7) 组成以 Lα, β, ψ, θ, φ 等 6 个状态变量的一阶微分方程组,作为欧拉方程的替代。

  以刚体在粘性介质中的运动为例,设阻尼力矩 与角速度ω之间满足线性关系:

                                          动量矩12.png                                                                     (8)

将式 (6) 代入上式,变换为对 (O-XYZ) 各轴的投影,再代入式 (5)。设刚体的自旋角 φ 和进动角 ψ 均快速变化。令式 (5) 在 φ  ψ 的每个变化周期内平均化,得到 L  动量矩9.png,动量矩10.png的平均值:

       动量矩13.png           (9)

表明阻尼力矩的平均效应使刚体的动量矩 的模减小,而平均方向仍保持与 Oζ  一致。


参考文献

1.   刘延柱. 欧拉情形刚体定点运动新解. 上海力学, 1981, 2 (3) : 52-55

2.   刘延柱. 刚体的拟Euler-Poinsot运动. 固体力学学报, 9, 1988 ,4: 294-302

3.   Liu Yanzhu. The development of the dynamics of rigid body with state variables. Acta Mechanica Solida Sinica, 1990, 3 (3) : 307-314



附录1  欧拉情形刚体定点运动的解析积分


动量矩14.png

动量矩15.png


附录2   欧拉情形刚体定点运动的定性分析


动量矩16.png

动量矩17.png







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